Sveinn fæddist í Kaupmannahöfn 27. febrúar 1881 en ólst upp í Ísafoldarhúsinu við Austurstræti sem nú er í Aðalstræti. Þar starfrækti faðir hans Ísafoldarprentsmiðju og ritstýrði Ísafold og þar var Morgunblaðið fyrst til húsa, en Ólafur, bróðir Sveins, var ásamt Vilhjálmi Finsen, stofnandi þess árið 1913.
Sveinn var sonur Björns Jónssonar, ritstjóra, alþm. og ráðherra, og k.h., Elísabetar G. Sveinsdóttur húsfreyju, systur Hallgríms biskups, og Sigríðar, móður Haraldar Níelssonar guðfræðiprófessors.
Eiginkona Sveins var af dönskum ættum, Georgia Björnsson, f. Hansen, foreldrar: Hans Henrik Emil Hansen og kona hans Anna Catherine Hansen.
Sveinn og Georgia eignuðust sex börn:
Björn (1909), Anna Catherine Aagot (1911), Henrik (1914), Sveinn (1916), Ólafur (1919), Elísabet (1922).
Sveinn lauk stúdentsprófi aldamótaárið 1900 og hélt síðan til Kaupmannahafnar til að stunda laganám. Því lauk hann vorið 1907 og varð sama ár yfirréttarmálaflutningsmaður og 1920 varð hann hæstaréttarlögmaður. Á árunum 1907-20 rak Sveinn málflutningsskrifstofu í Reykjavík. Hann var settur málaflutningsmaður við landsyfirréttinn 1919.
Í bæjarstjórn Reykjavíkur 1912–1920, forseti bæjarstjórnar 1918–1920. Einn af stofnendum Eimskipafélags Íslands 1914 og formaður þess 1914–1920 og 1924–1926.
Stofnandi Brunabótafélags Íslands og forstjóri þess frá stofnun 1916–1920. Einn af stofnendum Sjóvátryggingarfélags Íslands haustið 1918, formaður þess 1918–1920 og 1924–1926.
Einn af stofnendum Rauða kross Íslands 10. desember 1924 og fyrsti formaður hans til 1926. Einn af stofnendum Málflutningsmannafélags Íslands 1911 og formaður þess 1918–1920. Skipaður 1910 í peningamálanefnd. Var á vegum ríkisstjórnarinnar í nefnd til vörukaupa í Bandaríkjunum í júlí–október 1914. Kosinn í velferðarnefnd 1914 og 1915 og 1925 í milliþinganefnd í bankamálum. Fulltrúi Íslands á ráðstefnu í Genúa 1922, á alþjóðaráðstefnu í Haag 1930 um lögskipan (codification) á þjóðarétti, á ráðstefnu í Genf 1930–1931 til athugunar á stofnun Evrópubandalags, á fjármálaráðstefnu í London 1933, á ráðstefnu í London 1937 til að ákveða reglur um möskvastærð og fiskstærð með tilliti til veiða. Formaður viðskiptasamninganefnda er gert hafa tolla- og verslunarsamninga við Norðurlöndin, Bretland, Þýskaland og Miðjarðarhafslöndin.
Sveinn var alþingismaður fyrir Sjálfstæðisflokkinn eldri 1914-15 og síðan fyrir Heimastjórnarflokkinn 1919-20, og gegndi starfi sendiherra Íslands í Danmörku 1920-24 og 1926-41.
Árið 1941 var Sveinn kjörinn af Alþingi ríkisstjóri Íslands og þann 17. júní 1944 var hann kjörinn af Alþingi fyrsti forseti Íslands á Lögbergi á Þingvöllum. Hann var tvisvar endurkjörinn án atkvæðagreiðslu. Sveinn hafði m.a. umtalsverð áhrif sem forseti á mótun varnarmála og nýrrar utanríkisstefnu hér á landi með samskiptum sínum við Bandaríkjaforseta.
Sveinn er eini forsetinn sem skipað hefur utanþingsstjórn en það gerði hann sem ríkisstjóri, árið 1942, í óþökk ýmissa alþingismanna, ekki síst sjálfstæðismanna. Sveinn skráði endurminningar sem gefnar voru út 1957. Þá skrifaði Gylfi Gröndal bókina Sveinn Björnsson – ævisaga.
Sveinn Björnsson lést 25. janúar 1952.
